PMSM的数学建模

自然坐标系下PMSM的三相电压方程以及磁链方程。

磁链（Flux Linkage）

是描述电磁现象的一个物理量，它表示穿过某个回路的磁场的总效应。 在电机中，磁链通常用来描述电流与磁场之间的关系。磁链的概念在电机控制和电磁学中非常重要。 在永磁同步电机（PMSM）和其他电机中，磁链是分析电压、电流和转矩的关键因素。 根据电磁感应定律，磁链的变化会在导体中产生感应电动势（电压）。 在控制系统中，通过控制磁链的大小和方向，可以间接控制电机的转矩和转速。 磁链的定义为：穿过导体线圈的磁通量与线圈匝数的乘积。 数学表达式为：
$$𝜆=𝑁⋅Φ$$
$𝜆$表示磁链（Flux Linkage），单位为韦伯（Wb）。
$N$为线圈的匝数。
$Φ$为磁通量（Flux），表示穿过线圈的磁场强度的总量，单位也是韦伯（Wb）。

电流产生的磁链：当电流通过线圈时，会产生一个环绕线圈的磁场，这个磁场的磁通量在线圈中累积，形成磁链。永磁体产生的磁链：在永磁同步电机中，转子上的永磁体产生的磁场也会在定子绕组中产生磁链，这个磁链通常称为“转子磁链”或“永磁体磁链”。
根据法拉第电磁感应定律，磁链的变化率决定了感应电动势的大小，数学表达为：
$$e=−dt/dλ$$
因此，磁链的变化直接影响电机的电压方程和控制策略。

自然坐标系下PMSM的三相电压方程以及磁链方程

电磁转矩

电磁转矩另外可以理解为电机中磁场储能对机械角度的偏导数。（来源于教材） 这种理解来源于电机中的能量转换原理，即电磁能量的变化会推动转子旋转，形成电磁转矩。

磁场储能公式

教材中有电流转置，是因为电流需要加一个转置符号通常是因为在电机控制和矩阵运算中，电流和磁链通常表示为向量，而磁场储能计算涉及向量之间的点积或矩阵乘法。为了进行这些运算，需要确保维度匹配，这就是为什么需要将电流向量进行转置。

电机的机械运动方程

三相坐标变换

对数学模型进行降价与解耦变换。

Clark变换（静止坐标变换）

Clark变换（Clarke Transform）是一种将三相交流信号转换为两相直交坐标系的数学变换，广泛应用于电机控制和电力电子领域。其主要目的是简化三相电流或电压的分析和控制，尤其是在进行控制算法设计时（如在空间矢量调制和PID控制中）。

Park变换（同步旋转坐标变换）

Park变换（Park Transform）是一种用于将三相交流信号（通常是电流或电压）转换为旋转坐标系的数学变换。它是电机控制中非常重要的工具，特别是在控制电机的矢量控制（Field-Oriented Control, FOC）中，Park变换帮助将三相信号转换为直流信号，从而简化控制策略。

反Park变换

反Park变换（Inverse Park Transform）是Park变换的逆过程，用于将旋转坐标系中的直流信号（$d$ 和 $q$ 分量）转换回三相交流信号（通常是电流或电压）。反Park变换在电机控制中非常重要 ，因为它可以将控制算法输出的信号转换为实际电机所需的三相信号，以便控制电机的运行。